Biết đồ thị hàm số y = ax^3 + bx^2 + cx + d cắt trục hoành tại ba điểm

Vì đồ thị hàm số $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt với hoành độ dương $x_1,x_2,x_3$ nên phương trình $a{x}^3+b{x}^2+cx+d=0$ có 3 nghiệm dương phân biệt $x_1,x_2,x_3$.

Áp dụng định lí Vi-ét ta có: $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2+x_3=\frac{-b}{a}\\ x_1{x}_2+x_2{x}_3+x_3{x}_1=\frac{c}{a}\\ x_1{x}_2{x}_3=\frac{d}{a}\end{array}\right.$.

Ta có: $y\text{'}=3a{x}^2+2bx+c,y"=6ax+2b.$

Vì $y"\left(1\right)=0\Rightarrow 6a+2b=0\iff b=-3a\Rightarrow x_1+x_2+x_3=\frac{-b}{a}=-3.$

Ta có:

$P=x_3+\sqrt{x_2{x}_3}+\sqrt[3]{x_1{x}_2{x}_3}$

$P=x_3+\frac{1}{2}\sqrt{4x_2{x}_3}+\frac{1}{4}\sqrt[3]{16x_1.4x_2.x_3}$

$\Rightarrow P\le x_3+\frac{1}{2}.\frac{4x_2+x_3}{2}+\frac{1}{4}.\frac{16x_1+4x_2+x_3}{3}$

$\Rightarrow P\le x_3+\frac{4x_2+x_3}{4}+\frac{16x_1+4x_2+x_3}{12}$

$\Rightarrow P\le \frac{12x_3+12x_2+3x_3+16x_1+4x_2+x_3}{12}$

$\Rightarrow P\le \frac{16x_1+16x_2+16x_3}{12}=\frac{4}{3}\left(x_1+x_2+x_3\right)$

$\Rightarrow P\le \frac{4}{3}.3=4$

Vậy $P_{\min }=4.$

Chọn C.