ết hàm số f(x) - f(2x) có đạo hàm bằng 20 tại x = 1 và đạo hàm bằng 1001

Phương pháp:

- Đặt $g\left(x\right)=f\left(x\right)-f\left(2x\right),$ tính g'(x).

- Dựa vào giả thiết suy ra g'(1), g'(2) sử dụng phương pháp cộng đại số tìm $f\text{'}\left(1\right)-4f\text{'}\left(4\right).$

- Đặt $h\left(x\right)=f\left(x\right)-f\left(4x\right),$ tính h'(x) và tính h'(1).

Cách giải:

Đặt $g\left(x\right)=f\left(x\right)-f\left(2x\right),$ ta có $g\text{'}\left(x\right)=f\text{'}\left(x\right)-2f\text{'}\left(2x\right).$

Theo bài ra ta có

$\left\{\begin{array}{l}g\text{'}\left(1\right)=20\\ g\text{'}\left(2\right)=1001\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}f\text{'}\left(1\right)-2f\text{'}\left(2\right)=20\\ f\text{'}\left(2\right)-2f\text{'}\left(4\right)=1001\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}f\text{'}\left(1\right)-2f\text{'}\left(2\right)=20\\ 2f\text{'}\left(2\right)-4f\text{'}\left(4\right)=2002\end{array}\right.\Rightarrow f\text{'}\left(1\right)-4f\text{'}\left(4\right)=2022$

Đặt $h\left(x\right)=f\left(x\right)-f\left(4x\right)$ ta có $h\text{'}\left(x\right)=f\text{'}\left(x\right)-f\text{'}\left(4x\right)$

$\Rightarrow h\text{'}\left(1\right)=f\text{'}\left(1\right)-4f\text{'}\left(4\right)=2002.$