Cho mặt cầu (S) có bán kính R. Hình nón (N) thay đổi có đỉnh và đường kính

Phương pháp:

- Gọi h là chiều cao của hình nón, r là bán kính đường tròn đáy của hình nón. Sử dụng định lí Pytago biểu diễn r theo h, R.

- Thể tích khối nón có chiều cao h bán kính đáy r là $V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h.$

- Sử dụng phương pháp hàm số để tìm GTLN của thể tích.

Cách giải:

Gọi h là chiều cao của hình nón. Để thể tích khối nón là lớn nhất thì hiển nhiên h > R.

Gọi r là bán kính đường tròn đáy của hình nón.

Ta có $IH=SH-SI=h-R.$

Áp dụng định lí Pytago ta có $r=\sqrt{R^2-{\left(h-R\right)}^2}=\sqrt{2hR-h^2}$.

$\Rightarrow$ Thể tích khối nón là $V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\pi \left(2hR-h^2\right).h=\frac{\pi }{3}\left(2R{h}^2-h^3\right).$

Xét hàm số $f\left(h\right)=-h^3+2R{h}^2$ với h > R ta có $f\text{'}\left(h\right)=-3h^2+4Rh=0\iff \left[\begin{array}{l}h=0\left(ktm\right)\\ h=\frac{4R}{3}\left(tm\right)\end{array}\right..$

Chọn D.