Cho hình lăng trụ BC.A'B'C' có thể tích V. Lấy điểm I thuộc cạnh CC' sao cho

Gọi $P=AM\cap CC\text{'}.$

Vì I là trung điểm của A'M và B'N nên ABMN là hình bình hành và A, B, M, N đồng phẳng.

Ta có AA'//CC', mà I là trung điểm của A'M nên P là trung điểm của AM (1)

Lại có BB'//CC' mà I là trung điểm của B'N nên P là trung điểm của BN (2)

Từ (1) và $\left(2\right)\Rightarrow P\in \left(ABMN\right).$

$\Rightarrow PC\text{'}=PI+IC\text{'}=\frac{AA\text{'}}{2}+\frac{CC\text{'}}{5}=\frac{CC\text{'}}{2}+\frac{CC\text{'}}{5}=\frac{7CC\text{'}}{10}$

$\Rightarrow \frac{CP}{CC\text{'}}=\frac{3}{10}$

$\Rightarrow \frac{V_{C.ABMN}}{V_{C\text{'}.ABMN}}=\frac{d\left(C;\left(ABMN\right)\right)}{d\left(C\text{'};\left(ABMN\right)\right)}=\frac{CP}{CC\text{'}}=\frac{3}{7}\Rightarrow V_{C\text{'}.ABMN}=\frac{7}{3}{V}_{C.ABMN}$

Ta có: $\frac{V_{C.ABP}}{V_{C.ABC}}=\frac{CP}{CC\text{'}}=\frac{3}{10}\Rightarrow V_{C.ABP}=\frac{3}{10}.V_{C.ABC\text{'}}=\frac{3}{10}.\frac{V}{3}=\frac{V}{10}.$

$\left\{\begin{array}{l}{V}_{C.ABMN}=2V_{C.ABM}=4V_{C.ABP}=4.\frac{V}{10}=\frac{2V}{5}\\ V_{C\text{'}.ABMN}=\frac{7}{3}{V}_{C.ABMN}=\frac{7}{3}.\frac{2V}{5}=\frac{14V}{15}\end{array}\right.$

$V\text{'}=V_{CABMNC\text{'}}=V_{C\text{'}.ABMN}+V_{C.ABMN}=\frac{14V}{15}+\frac{2V}{5}=\frac{4}{3}V$

Vậy $\frac{V}{V\text{'}}=\frac{3}{4}.$

Chọn B.