Cho hàm có bảng xét dấu của đạo hàm như sau

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy:

+ Với $\left(-\infty ;1\right)$  thì $f^{\text{'}}\left(t\right)<\left(2t^2-7t+5\right),\forall t<1\iff y^{\text{'}}<\mathrm{0,}\forall x<-1$  ; loại B.

+ Với $t\in \left(3;4\right)\Rightarrow x\in \left(1;2\right)$  thì $f^{\text{'}}\left(t\right)<\left(2t^2-7t+5\right),\forall t\in \left(3;4\right)\iff y^{\text{'}}<\mathrm{0,}\forall x\in \left(1;2\right)$  ; loại A, D.

+ Với $t\in \left(1;\frac{5}{2}\right)\iff x\in \left(-1;\frac{1}{2}\right)$  thì $f^{\text{'}}\left(t\right)>\left(2t^2-7t+5\right),\forall t\in \left(1;\frac{5}{2}\right)\iff y^{\text{'}}>\mathrm{0,}\forall x\in \left(-1;\frac{1}{2}\right)$ .

Suy ra hàm số đã cho đồng biến trên $\left(-1;\frac{1}{2}\right)$  .

Vậy đáp án đúng là đáp án C.