Gọi S là tập hợp tất các các giá trị của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn bằng 3. Tổng tất cả các phần tử của S bằng

Đáp án B

Tập xác định: $D=ℝ\backslash \left\{-2\right\}$  .

Xét hàm số $g\left(x\right)=\frac{x^2+2mx+4m}{x+2}$  trên đoạn $\left[-1;1\right]$  .

Hàm số xác định và liên tục trên $\left[-1;1\right]$ .

Ta có:$g^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{x^2+4x}{{\left(x+2\right)}^2}=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\in \left[-1;1\right]\\ x=-4\notin \left[-1;1\right]\end{array}\right.$ .

Ta lại có $g\left(0\right)=2m;g\left(-1\right)=2m+1;g\left(1\right)=2m+\frac{1}{3}$ .

Khi đó $\left\{\begin{array}{l}\underset{\left[-1;1\right]}{\min }g\left(x\right)=2m\\ \underset{\left[-1;1\right]}{\max }g\left(x\right)=2m+1\end{array}\right.$  .

Suy ra $\underset{\left[-1;1\right]}{\max }f\left(x\right)=\max \left\{\left|2m\right|;\left|2m+1\right|\right\}$  .

Theo đề bài $\underset{\left[-1;1\right]}{\max }f\left(x\right)=3$:  nên ta có: $\left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}\left|2m+1\right|=3\\ \left|2m+1\right|\ge \left|2m\right|\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l}\left|2m\right|=3\\ \left|2m\right|\ge \left|2m+1\right|\end{array}\right.\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}m=1\\ m=-\frac{3}{2}\end{array}\right.$  .

Vậy tổng các phần tử thuộc tập S bằng $1+\left(-\frac{3}{2}\right)=-\frac{1}{2}$  .

Lưu ý:

Tìm tham số để $\underset{\left[\alpha ;\beta \right]}{\max }f\left(x\right)=a$  (với a>0  ).

Phương pháp:

Tìm .

Suy ra: .

Theo đề bài:  nên ta có hai trường hợp:

TH1:       $\left\{\begin{array}{l}\left|M\right|=a\\ \left|m\right|\le a\end{array}\right.$           TH2: $\left\{\begin{array}{l}\left|m\right|=a\\ \left|M\right|\le a\end{array}\right.$ .