Tìm tập hợp các giá trị của tham số m để bất phương trình 12^x+(2-m)*6^x+3^x>0 nghiệm đúng với mọi .

* Hướng dẫn giải

Đáp án D

Chia cả hai vế của bất phương trình cho $3^x$  , ta được bất phương trình:$4^x+\left(2-m\right){.2}^x+1>0$ .

Đặt $t=2^x$ .

Do$x\in \left(0;\infty \right)\Rightarrow t\in \left(1;+\infty \right)$ .

Bất phương trình trở thành:$t^2+\left(2-m\right).t+1>0\iff t+2+\frac{1}{t}>m$ .

Xét hàm số$g\left(t\right)=t+2+\frac{1}{t}$  trên $\left(1;+\infty \right)$  .

Bài toán trở thành tìm m để:$m<g\left(t\right),\forall t\in \left(1;+\infty \right)\iff m\le \underset{\left(1;+\infty \right)}{\min }g\left(t\right)$ .

Ta có $g^{\text{'}}\left(t\right)=1+\ln t>\mathrm{0,}\forall t\in \left(1;+\infty \right)$  .

Do đó ta có $m\le \underset{\left(1;+\infty \right)}{\min }g\left(t\right)=g\left(1\right)=1+2+\frac{1}{1}=4$  .

Vậy $m\le 4$  .

Hoặc ta có thể bấm máy tính (MODE ® 7 (hoặc 8)) tìm min trên nửa khoảng $\left[1;+\infty \right)$  của hàm số g(t).