Cho các số thực a, b, m, n sao cho 2m+n<0 và thỏa mãn điều kiện Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .

* Hướng dẫn giải

Đáp án B

Ta có: ${\log }_2\left(a^2+b^2+9\right)=1+{\log }_2\left(3a+2b\right)\iff {\log }_2\left(a^2+b^2+9\right)={\log }_2\left[2\left(3a+2b\right)\right]$

$\iff a^2+b^2+9=6a+4b\iff {\left(a-3\right)}^2+{\left(b-2\right)}^2=4$

Gọi $H\left(a;b\right)$ , suy ra$H\in \left(C\right)$  có tâm $I\left(3;2\right)$ , bán kính $R=2$  .

Lại có $9^{-m}{.3}^{-n}{.3}^{\frac{-4}{2m+n}}+\ln \left[{\left(2m+n+2\right)}^2+1\right]=81$

$\iff 3^{\left(-2m+n\right)+\left(\frac{-4}{2m+n}\right)}+\ln \left[{\left(2m+n+2\right)}^2+1\right]=81\left(1\right)$.

Với mọi m, n thỏa mãn $2m+n<0$  , ta có:

$\left\{\begin{array}{l}-\left(2m+n\right)+\frac{-4}{2m+n}\ge 2\sqrt{-\left(2m+n\right).\left(\frac{-4}{2m+n}\right)}=4\Rightarrow 3^{-\left(2m+n\right)+\left(\frac{-4}{2m+n}\right)}\ge 81\\ \ln \left[{\left(2m+n+2\right)}^2+1\right]\ge \ln 1=0\end{array}\right.$

Suy ra $3^{-\left(2m+n\right)+\left(\frac{-4}{2m+n}\right)}+\ln \left[{\left(2m+n+2\right)}^2+1\right]\ge 81$

Do đó $\left(1\right)\iff \left\{\begin{array}{l}-\left(2m+n\right)=\frac{-4}{2m+n}\\ 2m+n+2=0\end{array}\right.\iff 2m+n+2=0$  .

Gọi $K\left(m;n\right)$  , suy ra $K\in \Delta :2x+y+2=0$  .

Ta có: $P=\sqrt{{\left(a-m\right)}^2+{\left(b-n\right)}^2}=HK$ .

$d\left(I,\Delta \right)=\frac{\left|2.3+2+2\right|}{\sqrt{2^2+1^2}}=2\sqrt{5}>2$, suy ra đường thẳng  không cắt đường tròn .

Do đó HK ngắn nhất khi K là hình chiếu của điểm I trên đường thẳng  và điểm H là giao điểm của đoạn thẳng IK với đường tròn .

Lúc đó $HK=IK-IH=2\sqrt{5}-2$ .

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng $2\sqrt{5}-2$  .