Cho hàm số xác định và liên tục trên đoạn có đồ thị như hình vẽ dưới. Biết diện tích các hình phẳng (A), (B), (C), (D) giới hạn bởi đồ thị hàm số và trục hoành lần lượt bằng 6; 3;...

Đáp án D

Đặt $t=2x+1\Rightarrow dt=2dx$  .

Đổi cận:$\left\{\begin{array}{l}x=-3\Rightarrow t=-5\\ x=1\Rightarrow t=3\end{array}\right.$ .

Do đó $\underset{-3}{\overset{1}{\int }}\left[2f\left(2x+1\right)+1\right]dx=\underset{-5}{\overset{3}{\int }}\frac{2f\left(t\right)+1}{2}dt=\underset{-5}{\overset{3}{\int }}f\left(t\right)dt+\underset{-5}{\overset{3}{\int }}\frac{1}{2}dt=\underset{-5}{\overset{3}{\int }}f\left(t\right)dt+4$ .

Để tính $\underset{-5}{\overset{3}{\int }}f\left(t\right)dt$  ta dùng diện tích các hình phẳng đã cho:

Quan sát đồ thị nhận thấy trên đoạn $\left[-5;3\right]$  thì đồ thị hàm số $f\left(x\right)$  cắt trục hoành lần lượt tại các điểm có hoành độ $x=-5;x=a;x=b;x=c$  (với$-5<a<b<c<3$ ).

Trong đó $\underset{-5}{\overset{a}{\int }}f\left(t\right)dt=\underset{-5}{\overset{a}{\int }}\left|f\left(t\right)\right|dt=S_{\left(A\right)}=6$  và $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(t\right)dt=-\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left|f\left(t\right)\right|dt=-S_{\left(B\right)}=-3$ .

$\underset{b}{\overset{c}{\int }}f\left(t\right)dt=\underset{b}{\overset{c}{\int }}\left|f\left(t\right)\right|dt=S_{\left(C\right)}=12;\underset{c}{\overset{3}{\int }}f\left(t\right)dt=S_{\left(D\right)}=2$.

Vì vậy $\underset{-5}{\overset{3}{\int }}f\left(t\right)dt=\underset{-5}{\overset{a}{\int }}f\left(t\right)dt+\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(t\right)dt+\underset{b}{\overset{c}{\int }}f\left(t\right)dt+\underset{c}{\overset{3}{\int }}f\left(t\right)dt=6-3+12+2=17$

Vậy tích phân cần tính bằng 17 + 4 = 21.