Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu . Xét hai điểm M, N di động trên (S) sao cho MN=1 . Giá trị nhỏ nhất của OM^2-ON^2 bằng

* Hướng dẫn giải

Đáp án A

Xét điểm $M\left(x;y;z\right),N\left(a;b;c\right)$  ta có $\left\{\begin{array}{l}M\in \left(S\right)\\ N\in \left(S\right)\\ MN=1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}^2+{\left(y-3\right)}^2+{\left(z+4\right)}^2=4\left(1\right)\\ a^2+{\left(b-3\right)}^2+{\left(c+4\right)}^2=4\left(2\right)\\ {\left(x-a\right)}^2+{\left(y-b\right)}^2+{\left(z-c\right)}^2=1\left(3\right)\end{array}\right.$

Lấy (1) – (2) theo vế có: .$x^2+y^2+z^2-a^2-b^2-c^2=6\left(y-b\right)-8\left(z-c\right)$

Kết hợp sử dụng bất đẳng thức Coossi (Bunhiacốpxki) và (3) ta có $O{M}^2-O{N}^2=x^2+y^2+z^2-a^2-b^2-c^2=6\left(y-b\right)-8\left(z-c\right)$

$\ge -\sqrt{\left(6^2+8^2\right)\left[{\left(y-b\right)}^2+{\left(z-c\right)}^2\right]}\ge -\sqrt{\left(6^2+8^2\right)\left[\left(y-a^2\right)+{\left(y-b\right)}^2+{\left(z-c\right)}^2\right]}=-10$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: $\left\{\begin{array}{l}{x}^2+{\left(y-3\right)}^2+{\left(z+4\right)}^2=4\\ a^2+{\left(b-3\right)}^2+{\left(c+4\right)}^2=4\\ {\left(x-a\right)}^2+{\left(y-b\right)}^2+{\left(z-c\right)}^2=1\\ x-a=0\\ \frac{y-b}{6}=\frac{z-c}{-8}=k<0\end{array}\right.$  .