Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ. Gọi S là tập hợp các giá trị của m sao cho . Số phần tử của tập S là?

Đáp án C

Xét $g\left(x\right)=\left(x-1\right).h\left(x\right)\ge \mathrm{0,}\forall x\in ℝ$  với $h\left(x\right)=m^3.f\left(2x-1\right)-m.f\left(x\right)+f\left(x\right)-1$  .

Do $\left\{\begin{array}{l}x-1>0\forall x>1\Rightarrow h\left(x\right)\ge 0\forall x>1\\ x-1<0\forall x<1\Rightarrow h\left(x\right)\le 0\forall x<1\end{array}\right.\left(*\right)\Rightarrow h\left(x\right)=0$  tại x=1.

Suy ra: $m^3.f\left(1\right)-m.f\left(1\right)+f\left(1\right)-1=0\Rightarrow m^3-m=0\iff \left[\begin{array}{l}m=0\\ m=\pm 1\end{array}\right.$ .

Với $m=0\Rightarrow h\left(x\right)=f\left(1\right)-1$  thỏa mãn (*) do hàm f(x)   đồng biến và f(1)=1.

Với $m=1\Rightarrow h\left(x\right)=f\left(2x-1\right)-1$ thỏa mãn (*).

Do x>1 thì $2x-1>1\Rightarrow f\left(2x-1\right)-1>0$ và x<1 thì $2x-1<1\Rightarrow f\left(2x-1\right)-1<0$ .

Với $m=-1\Rightarrow h\left(x\right)=-f\left(2x-1\right)+2f\left(x\right)-1$ .

Khi đó h(x) là hàm số bậc ba có hệ số a<0 nên $\underset{x\to +\infty }{\lim }h\left(x\right)<0$   không thỏa mãn (*).

Vậy m=0 và m=1.