Cho tứ diện đều ABCD có cạnh đáy bằng a, M là trung điểm của CD

* Hướng dẫn giải

Phương pháp:

- Gọi N là trung điểm của AD chứng minh $\angle \left(AC;BM\right)=\angle \left(MN;BM\right)$

- Tính các cạnh của tam giác BMN sử dụng định lí Co-sin trong tam giác: $\cos \angle BMN=\frac{B{M}^2+M{N}^2-B{N}^2}{2BM.MN}$

Cách giải:

Gọi N là trung điểm của AD ta có MN//AC (MN là đường trung bình của $\Delta ACD$)

$\Rightarrow \angle \left(AC;BM\right)=\angle \left(MN;BM\right)$.

$\Delta ABD,\Delta BCD$ là các tam giác đều cạnh a nên $BM=BN=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$

MN là đường trung bình của $\Delta ACD$ nên $MN=\frac{1}{2}AC=\frac{a}{2}.$

Áp dụng định lí Co-sin trong tam giác $BMN:\cos \angle BMN=\frac{B{M}^2+M{N}^2-B{N}^2}{2BM.MN}=\frac{\frac{3a^2}{4}+\frac{a^2}{4}-\frac{3a^2}{4}}{2.\frac{a\sqrt{3}}{2}.\frac{a}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{6}.$

Chọn A.