Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A, D, AD = CD = a

* Hướng dẫn giải

Phương pháp:

- Chứng minh $\frac{d\left(I;\left(SBC\right)\right)}{d\left(A;\left(SBC\right)\right)}=\frac{IB}{AB}=\frac{1}{2}.$

- Chứng minh ADCI là hình vuông và $BC\perp \left(SAC\right).$

- Trong (SAC) kẻ $AH\perp SC,$ chứng minh $AH\perp \left(SBC\right)$.

- Sử dụng tính chất tam giác vuông cân tính AH.

Cách giải:

Ta có $IA\cap \left(SBC\right)=B\Rightarrow \frac{d\left(I;\left(SBC\right)\right)}{d\left(A;\left(SBC\right)\right)}=\frac{IB}{AB}=\frac{1}{2}.$

Vì ADCI là hình vuông cạnh $a\Rightarrow CI=a=\frac{1}{2}AB.$

$\Rightarrow \Delta ACB$ vuông tại $C\Rightarrow AC\perp BC$.

Ta có $\left\{\begin{array}{l}BC\perp AC\\ BC\perp SA\end{array}\right.\Rightarrow BC\perp \left(SAC\right).$

Trong (SAC) kẻ $AH\perp SC$ ta có $\left\{\begin{array}{l}AH\perp SC\\ AH\perp BC\end{array}\right.\Rightarrow AH\perp \left(SBC\right)\Rightarrow d\left(A;\left(SBC\right)\right)=AH$

$\Rightarrow d\left(I;\left(ABC\right)\right)=\frac{1}{2}AH.$

Ta có $SA\perp \left(ABCD\right)\Rightarrow AC$ là hình chiếu vuông góc của SC lên (ABCD)

$\Rightarrow \angle \left(SC;\left(ABCD\right)\right)=\angle \left(SC;AC\right)=\angle SCA={45}^0$

$\Rightarrow \Delta SAC$ vuông cân tại $A\Rightarrow AH=\frac{AC}{\sqrt{2}}=\frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=a.$

Vậy $d\left(I;\left(SBC\right)\right)=\frac{a}{2}.$

Chọn C.