Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB=a, AD=2a . Cạnh bên SA vuông góc với đáy, góc giữa SD với đáy bằng 60 độ . Tính khoảng cách d từ điểm C đến mặt phẳng (SBD)...

Đáp án A

Xác định $60°=\widehat{S\text{D},\left(ABC\text{D}\right)}=\widehat{S\text{D},A\text{D}}=\widehat{S\text{D}A}$  và $SA=A\text{D}.\tan \widehat{S\text{D}A}=2\text{a}\sqrt{3}$ .

Ta có $d\left(C,\left(SB\text{D}\right)\right)=d\left(A,\left(SB\text{D}\right)\right)$  .

Kẻ $A\text{E}\perp B\text{D}$  và kẻ $AK\perp SE$ .

Khi đó $d\left(A,\left(SB\text{D}\right)\right)=AK$ .

Tam giác vuông BAD, có $A\text{E}=\frac{AB.A\text{D}}{\sqrt{A{B}^2+A{\text{D}}^2}}=\frac{2\text{a}}{\sqrt{5}}$ .

Tam giác vuông SAE, có $AK=\frac{SA.A\text{E}}{\sqrt{S{A}^2+A{\text{E}}^2}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$  .

Vậy $d\left(C,\left(SB\text{D}\right)\right)=AK=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ .