Tích tất cả các số thực m để hàm số có giá trị nhỏ nhất trên đoạn [0;3] bằng 1818 là

Đáp án C

Xét hàm số $f\left(x\right)=\frac{4}{3}{x}^3-6{\text{x}}^2+8\text{x}+m$  liên tục trên đoạn [0;3]  .

Ta có $f^{\text{'}}\left(x\right)=4{\text{x}}^2-12\text{x}+8=0\iff \left[\begin{array}{l}x=1\in \left[0;3\right]\\ x=2\in \left[0;3\right]\end{array}\right.$ .

Ta lại có: $f\left(0\right)=m;\text{ f}\left(1\right)=\frac{10}{3}+m;\text{ f}\left(2\right)=\frac{8}{3}+m;\text{ f}\left(3\right)=6+m$ .

Khi đó:$\left\{\begin{array}{l}\underset{\left[0;3\right]}{\max }f\left(x\right)=\max \left\{f\left(0\right);f\left(1\right);f\left(2\right);f\left(3\right)\right\}=f\left(3\right)=m+6\\ \underset{\left[0;3\right]}{\min }f\left(x\right)=\min \left\{f\left(0\right);f\left(1\right);f\left(2\right);f\left(3\right)\right\}=f\left(0\right)=m\end{array}\right.$ .

Theo đề bài: $\underset{\left[0;3\right]}{\min }y=18$  nên ta có: $\left\{\begin{array}{l}m\left(m+6\right)>0\\ \frac{\left|m+6+m\right|-\left|m+6-m\right|}{2}=18\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}m=-24\\ m=18\end{array}\right.$ .

Kết luận: Tích các số thực m thỏa mãn yêu cầu bài toán là: $-24.18=-432$ .