Cho mặt cầu . Tìm các điểm sao cho khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng là lớn nhất, khoảng cách từ điểm N đến mặt phẳng (P) là nhỏ nhất, với (P): x-2y+2z+7=0 .

* Hướng dẫn giải

Đáp án B

Mặt cầu (S) có tâm I(1;0;2), bán kính R=3  .

Ta làm theo hai cách.

Ta có: (P): x-2y+2z+7=0 nên $d\left(I;\left(P\right)\right)=\frac{\left|1-2.0+2.2+7\right|}{3}=4>3=R$ .

Do đó mặt phẳng (P) không có điểm chung với mặt cầu (S).

Tất cả các điểm thuộc mặt cầu (S)   đều nằm trong miền giới hạn bởi hai mặt phẳng song song với (P) và tiếp xúc với mặt cầu, nên điểm có khoảng cách lớn nhất, nhỏ nhất là các giao điểm của đường thẳng Δ với mặt cầu (S), với (Δ)

 là đường thẳng qua I và vuông góc với .

Phương trình đường thẳng Δ: $\Delta :\left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=-2t\\ z=2+2t\end{array}\right.\left(t\in ℝ\right)$

Gọi .$J=\Delta \cap \left(S\right)$

Ta có $J\in \left(S\right)$  nên .

Suy ra hai điểm thỏa mãn $J_1\left(0;2;0\right),{\text{ J}}_2\left(2;-2;4\right)$ .

Khoảng cách từ các điểm $J_1,{\text{ J}}_2$  đến (P) là

Vậy các điểm cần tìm là $M\left(2;-2;4\right),N\left(0;2;0\right)$ .