Cho x, y là các số dương thỏa mãn . Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của . Tính .

Đáp án B

Bất phương trình tương đương với: ${\log }_2\left(x^2+5y^2\right)-{\log }_2\left(x^2+10\text{x}y+y^2\right)+{\log }_{2}2+2\left(x^2+5y^2\right)-\left(x^2+10\text{x}y+y^2\right)\le 0$

$\iff {\log }_2\left(2{\text{x}}^2+10y^2\right)+2\left(x^2+5y^2\right)\le {\log }_2\left(x^2+10\text{x}y+y^2\right)+\left(x^2+10\text{x}y+y^2\right)$$\iff 2{\text{x}}^2+10y^2\le x^2+10\text{x}y+y^2$

$\iff x^2-10\text{x}y+9y^2\le 0\iff {\left(\frac{x}{y}\right)}^2-10\left(\frac{x}{y}\right)+9\le 0\iff 1\le \frac{x}{y}\le 9$Khi đó: $P=\frac{x^2+xy+9y^2}{xy+y^2}=\frac{{\left(\frac{x}{y}\right)}^2+\frac{x}{y}+9}{\frac{x}{y}+1}$

Đặt $t=\frac{x}{y}$  (với $1\le t\le 9$ ).

Xét hàm số:$f\left(t\right)=\frac{t^2+t+9}{t+1}$ .

Ta có:$f^{\text{'}}\left(t\right)=\frac{t^2+2t-8}{{\left(t+1\right)}^2}=0\iff \left[\begin{array}{l}t=-4\\ t=2\end{array}\right.$ .

Ta lại có:$f\left(1\right)=\frac{11}{2};f\left(2\right)=5;f\left(9\right)=\frac{99}{10}$ .

Nên $M=\frac{99}{10},m=5$ .

Vậy $T=10M-m=94$ .