Cho hàm số f(x) có đạo hàm xác định trên R và thỏa mãn và f(0)=-2019 . Số nghiệm nguyên dương của bất phương trình f(x0<7 là

* Hướng dẫn giải

Đáp án C

Theo giả thiết $f^{\text{'}}\left(x\right)+4\text{x}-6\text{x}.e^{x^2-f\left(x\right)-2019}=0\iff 6\text{x}\left(1-e^{x^2-f\left(x\right)-2019}\right)=2\text{x}-f^{\text{'}}\left(x\right),\forall x\in ℝ$  (1).

TH1: Nếu $1-e^{x^2-f\left(x\right)-2019}=0$  thì $x^2-f\left(x\right)-2019=0\iff f\left(x\right)=x^2-2019$  ta có (1) đúng với mọi $x\in ℝ$  .

Do đó $f\left(x\right)<7\iff x^2-2019<7\iff x^2<2026\iff -\sqrt{2026}<x<\sqrt{2026}$ .

Vì x nguyên dương nên $x\in \left\{1;2;3;\mathrm{...};45\right\}$ .

Trong trường hợp này có 45 giá trị nguyên dương của x thỏa mãn yêu cầu đề bài.

TH2: Nếu  thì ta có thể giả sử rằng tồn tại hàm số  có đạo hàm xác định trên  và thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Khi đó, tại  ta có  nên  (mâu thuẫn).

Vậy có tất cả 45 giá trị nguyên dương của x thỏa mãn yêu cầu đề bài.