Xét số phức z có phần thực dương và ba điểm A, B, C lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức z, và . Biết tứ giác OABC là một hình bình hành, giá trị nhỏ nhất của bằng

Đáp án B

Ta có $OA=\left|z\right|,AB=\left|\frac{1}{z}-z\right|,BC=\left|\left(z+\frac{1}{z}\right)-\frac{1}{z}\right|=\left|z\right|,OC=\left|z+\frac{1}{z}\right|$ .

Vì OABC là một hình bình hành nên $\left\{\begin{array}{l}OA=BC\\ AB=OC\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\left|z\right|=\left|z\right|\\ \left|\frac{1}{z}-z\right|=\left|z+\frac{1}{z}\right|\end{array}\right.\iff \left|\frac{1}{z}-z\right|=\left|z+\frac{1}{z}\right|\iff \left|\frac{1-z^2}{z}\right|=\left|\frac{1+z^2}{z}\right|\iff \left|1-z^2\right|=\left|1+z^2\right|$

Đặt $z=x+yi\Rightarrow z^2=x^2-y^2+2\text{x}yi$  vậy điều kiện trở thành: $\left|1-z^2\right|=\left|1+z^2\right|\iff \left|\left(x^2-y^2-1\right)+2\text{x}yi\right|=\left|\left(x^2-y^2+1\right)+2\text{x}yi\right|$

$\iff {\left(x^2-y^2-1\right)}^2+4{\text{x}}^2{y}^2={\left(x^2-y^2+1\right)}^2+4{\text{x}}^2{y}^2\iff {\left(x^2-y^2-1\right)}^2={\left(x^2-y^2+1\right)}^2$.

$\iff \left[\begin{array}{l}{x}^2-y^2-1=x^2-y^2+1\\ x^2-y^2-1=-\left(x^2-y^2+1\right)\end{array}\right.\iff x^2-y^2=0\iff y^2=x^2$Khi đó ${\left|z+\frac{1}{z}\right|}^2={\left|\frac{1+z^2}{z}\right|}^2={\left|\frac{\left(x^2-y^2+1\right)+2\text{x}yi}{x+yi}\right|}^2=\frac{{\left(x^2-y^2+1\right)}^2+4{\text{x}}^2{y}^2}{x^2+y^2}$

$=2{\text{x}}^2+\frac{1}{2{\text{x}}^2}\ge 2\sqrt{2{\text{x}}^2.\frac{1}{2{\text{x}}^2}}=2$

Dấu bằng xảy ra tại $\left\{\begin{array}{l}2{\text{x}}^2=\frac{1}{2x^2}\\ y^2=x^2\\ x>0\end{array}\right.\iff \left(x;y\right)=\left(\frac{1}{\sqrt{2}};-\frac{1}{\sqrt{2}}\right),\left(\frac{1}{\sqrt{2}};\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$