Cho hàm số f(x)= (x+2a)(x+2b-a)(ax+1). Có bao nhiêu cặp số thực (a;b) để hàm số đồng biến trên .

Đáp án B

 Ta có: $f^{\text{'}}\left(x\right)=3a{x}^2\left(2a^2+4ab+2\right)x-2a^3+4a^{2}b+a+2b$

Theo bài ta có: $f^{\text{'}}\left(x\right)\ge 0$, $\forall x\in ℝ$

$\iff \left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}a=0\\ 2x+2b\ge \mathrm{0,}x\in ℝ\end{array}\right.khoângthoûamaõn\\ \left\{\begin{array}{l}a>0\\ {\Delta }^{\text{'}}\le 0\end{array}\right.\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a>0\\ {\left(a^2+2ab+1\right)}^2-3a\left(-2a^3+4a^{2}b+a+2b\right)\le 0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}a>0\\ 7a^4-8a^{3}b+4a^2{b}^2-a^2-2ab+1\le 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a>0\\ {\left(2ab-\frac{4a^2+1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}{\left(2a^2-1\right)}^2\le 0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}a>0\\ 2ab-\frac{4a^2+1}{2}=0\\ 2a^2-1=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=\frac{\sqrt{2}}{2}\\ b=\frac{3\sqrt{2}}{4}\end{array}\right.$

Nhận xét: Hàm số $f\left(x\right)=k\left(x+a\right)\left(x+b\right)\left(x+c\right)$  đồng biến trên R khi $\left\{\begin{array}{l}k>0\\ a=b=c\end{array}\right.$  ; nghịch biến trên  khi