Cho đường thẳng y = 2x và parabol y = x^2 + c (c là tham số thực dương)

* Hướng dẫn giải

Phương pháp:

- Giả sử nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm là $x^2+c=2x\iff \left[\begin{array}{l}x=a>0\\ x=b>0\end{array}\right..$

- Sử dụng: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), y = g(x) đường thẳng x = a, x = b là $S=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left|f\left(x\right)-g\left(x\right)\right|dx$ để tính $S_1,S_2.$

- Giải phương trình $S_1=S_2$ và thế $c=2b-b^2$, giải phương trình tìm b sau đó tìm c.

Cách giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm $x^2+c=2x\iff \left[\begin{array}{l}x=a>0\\ x=b>0\end{array}\right..$

Ta có

$S_1=\underset{0}{\overset{a}{\int }}\left(x^2+c-2x\right)dx=\left(\frac{x^3}{3}+cx-x^2\right)\left|\begin{array}{l}a\\ 0\end{array}\right.=\frac{a^3}{3}+ca-a^2.$

$S_2=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left(2x-x^2-c\right)dx=\left(x^2-\frac{x^3}{3}-cx\right)\left|\begin{array}{l}b\\ a\end{array}\right.=b^2-\frac{b^3}{3}-cb-a^2+\frac{a^3}{3}+ca$

Vì $S_1=S_2$ nên ta có:

$\frac{a^3}{3}+ca-a^2=b^2-\frac{b^3}{3}-cb-a^2+\frac{a^3}{3}+ca$

$\iff b^2-\frac{b^3}{3}-cb=0$

$\iff b-\frac{b^2}{3}-c=0$ (do b > 0)

Vì b là nghiệm của phương trình $x^2+c=2x\Rightarrow b^2+c=2b\Rightarrow c=2b-b^2.$

$\Rightarrow b-\frac{b^2}{3}-2b+b^2=0\iff \left[\begin{array}{l}b=\frac{3}{2}\left(tm\right)\\ b=0\left(ktm\right)\end{array}\right..$

Vậy $c=2b-b^2=\frac{3}{4}$ gần với 1 nhất.

Chọn D.