Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có AB = 1, AC = 2, AA' = 2 căn bậc hai của 5

* Hướng dẫn giải

Phương pháp:

- Áp dụng định lí Pytago tính A'B, A'D.

- Áp dụng định lí Pytago tính BD, tiếp tục áp dụng định lí Pytago tính BC.

- Sử dụng công thức Hê-rong tính diện tích tam giác $ABC:S_{\Delta ABC}=\sqrt{p\left(p-AB\right)\left(p-AC\right)\left(p-BC\right)},$ với p là nửa chu vi tam giác ABC.

- Tính thể tích $V_{ABC.A\text{'}B\text{'}C\text{'}}=AA\text{'}.S_{\Delta ABC}.$

Cách giải:

Áp dụng định lí Pytago ta có:

$A\text{'}B=\sqrt{AA{\text{'}}^2+A{B}^2}=\sqrt{20+1}=\sqrt{21}$

$A\text{'}D=\sqrt{A\text{'}C{\text{'}}^2+C\text{'}{D}^2}=\sqrt{4+5}=3$

Vì $\Delta A\text{'}BD$ vuông tại D nên $BD=\sqrt{A\text{'}{B}^2-A\text{'}{D}^2}=\sqrt{21-9}=2\sqrt{3}.$

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông BCD ta có $BC=\sqrt{B{D}^2-C{D}^2}=\sqrt{12-5}=\sqrt{7}.$

Gọi p là chu vi tam giác ABC ta có $p=\frac{1+2+\sqrt{7}}{2}.$

$\Rightarrow S_{\Delta ABC}=\sqrt{p\left(p-AB\right)\left(p-AC\right)\left(p-BC\right)}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$

Vậy $V_{ABC.A\text{'}B\text{'}C\text{'}}=AA\text{'}.S_{\Delta ABC}=2\sqrt{5}.\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{15}.$

Chọn B.