Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Hình chiếu của

* Hướng dẫn giải

Phương pháp:

- Xác định góc giữa SD và (ABCD) là góc giữa SD và hình chiếu của SD lên (ABCD).

- Sử dụng tính chất tam giác vuông cân tính SH.

- Tính $S_{\Delta HCD}=S_{ABCD}-S_{\Delta AHD}-S_{\Delta BCH}.$

- Tính $V_{S.HCD}=\frac{1}{3}SH.S_{\Delta HCD}.$

Cách giải:

Ta có $SH\perp \left(ABCD\right)\Rightarrow HD$ là hình chiếu vuông góc của SD lên (ABCD).

$\Rightarrow \angle \left(SD;\left(ABCD\right)\right)=\angle \left(SD;HD\right)=\angle SDH={45}^0.$

$\Rightarrow \Delta SHD$ vuông cân tại $H\Rightarrow SH=HD=\sqrt{A{D}^2+A{H}^2}=\sqrt{a^2+{\left(\frac{a}{3}\right)}^2}=\frac{a\sqrt{10}}{3}.$

Ta có $S_{\Delta HCD}=S_{ABCD}-S_{\Delta AHD}-S_{\Delta BCH}=a^2-\frac{1}{2}.a.\frac{a}{3}-\frac{1}{2}.a.\frac{2a}{3}=\frac{a^2}{2}.$

Vậy $V_{S.HCD}=\frac{1}{3}SH.S_{\Delta HCD}=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{10}}{3}.\frac{a^2}{2}=\frac{a^3\sqrt{10}}{8}.$

Chọn D.