Cho một đa giác đều có 15 đỉnh. Người ta lập một tứ giác có 4 đỉnh là 4 đỉnh của . Tính số tứ giác được lập thành mà không có cạnh nào là cạnh của .

Đáp án D.

Gọi các đỉnh của đa giác là , ,..., .

Để chọn được một tứ giác thoả mãn ta thực hiện qua các công đoạn:

Chọn một đỉnh có 15 cách, giả sử là 4.

Ta tìm số cách chọn ba đỉnh còn lại, tức ba đỉnh , ,  và giữa ,  có  đỉnh; giữa ,  có  đỉnh; giữa ,   có  đỉnh và giữa ,  có  đỉnh, theo giả thiết có

 $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2+x_3+x_4=15-4=11\\ x_m\ge \mathrm{1,}m=\overline{\mathrm{1,4}}\end{array}\right.$

Số cách chọn ra ba đỉnh này bằng số nghiệm tự nhiên của phương trình $x_1+x_2+x_3+x_4=11$

 và bằng $C_{11-1}^{4-1}=C_{10}^3$ .

Vậy số các tứ giác có thể bằng , tuy nhiên vì vai trò bốn đỉnh như nhau nên mỗi đa giác được tính 4 lần, do đó số tứ giác bằng $\frac{15C_{10}^3}{4}=450$ .

Tổng quát: Đa giác có n đỉnh, số tứ giác lập thành từ 4 đỉnh không có cạnh của đa giác là: $\frac{n}{4}.C_{n-5}^3$ .