Cho hàm số . Tính tổng tất cả các số nguyên m để .

Đáp án C

Xét hàm số $y=\frac{1}{4}{x}^4-x^3+x^2+m$  liên tục trên đoạn $\left[-1;2\right]$ .

Ta có $f^{\text{'}}\left(x\right)=x^3-3x^2+2x=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\in \left[-1;2\right]\\ x=1\in \left[-1;2\right]\\ x=2\in \left[-1;2\right]\end{array}\right.$

Ta lại có: $f\left(-1\right)=\frac{9}{4}+m$ ;$f\left(0\right)=m$ ;$f\left(1\right)=\frac{1}{4}+m$ ; $f\left(2\right)=m$ .

Khi đó:$\left\{\begin{array}{l}\underset{\left[-1;2\right]}{\max }f\left(x\right)=\max \left\{f\left(-1\right);f\left(0\right);f\left(1\right);f\left(2\right)\right\}=f\left(-1\right)=m+\frac{9}{4}\\ \underset{\left[-1;2\right]}{\max }f\left(x\right)=\min \left\{f\left(-1\right);f\left(0\right);f\left(1\right);f\left(2\right)\right\}=f\left(0\right)=f\left(2\right)=m\end{array}\right.$ .

Suy ra: $\underset{\left[-1;2\right]}{\max }y=\max \left\{\left|m\right|;\left|m+\frac{9}{4}\right|\right\}$ .

Theo yêu cầu bài toán  $\underset{\left[-1;2\right]}{\max }y\le 11\iff \left[\begin{array}{l}\left|m+\frac{9}{4}\right|\le 11\\ \left|m\right|\le \left|m+\frac{9}{4}\right|\\ \left|m\right|\le 11\\ \left|m+\frac{9}{4}\right|\le \left|m\right|\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}-\frac{53}{4}\le m\le \frac{35}{4}\\ m\ge -\frac{9}{8}\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l}-11\le m\le 11\\ m\le -\frac{9}{8}\end{array}\right.\end{array}\right.$

$\iff \left[\begin{array}{l}-\frac{9}{8}\le m\le \frac{35}{4}\\ -11\le m\le -\frac{9}{8}\end{array}\right.\iff -11\le m\le \frac{35}{4}$.

Vì m nguyên nên $m=\left\{-11;-10;\mathrm{...};8\right\}$ .

Kết luận: tổng các số nguyên m thỏa mãn yêu cầu bài toán là: $-11-10-9-\mathrm{...}+8=-30$ .

Tìm tham số để $\underset{\left[\alpha ;\beta \right]}{\max }\left|f\left(x\right)\right|\le a$   (với a>0).