Cho hàm số liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình có nghiệm?

* Hướng dẫn giải

Đáp án A

Đặt $t=\frac{3\sin x-\cos x-1}{2\cos x-\sin x+4}\iff \left(2t+1\right)\cos x-\left(t+3\right)\sin x=-1-4t$   Phương trình $\left(*\right)$  có nghiệm ${\left(2t+1\right)}^2+{\left(t+3\right)}^2\ge {\left(4t+1\right)}^2\iff -\frac{9}{11}\le t\le 1$  , suy ra .

Từ đồ thị $y=f\left(x\right)$  ta có

$y=f\left(x\right)$ đồng biến trên $\left[0;+\infty \right)$

$m^2+4m+4={\left(m+2\right)}^2\in \left[0;+\infty \right)$.

 $\left|t\right|\in \left[0;+\infty \right)$

Nên $f\left(\left|\frac{3\sin x-\cos x-1}{2\cos x-\sin x+4}\right|\right)=f\left(m^2+4m+4\right)\iff f\left(\left|t\right|\right)=f\left(m^2+4m+4\right)$

$\iff \left|t\right|=m^2+4m+4$

Phương trình  có nghiệm khi và chỉ khi

$0\le m^2+4m+4\le 1\iff m^2+4m+4\le 1\iff -3\le m\le -1$

Do $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{-3;-2;-1\right\}$ .