Cho hàm số liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ bên dưới

Đáp án D

Bất phương trình đã cho tương đương với: $m>4-{\log }_5\left[f\left(x\right)+m+2\right]-f\left(x\right)$ , $\forall x\in \left(-1;4\right)$ .

Xét hàm số $g\left(x\right)=4-{\log }_5\left[f\left(x\right)+m+2\right]-f\left(x\right)$  trên $\left(-1;4\right)$ .

Bài toán trở thành tìm m để $m>g\left(x\right)$  ,$\forall x\in \left(-1;4\right)\iff m\ge \underset{\left[-1;4\right]}{\max }g\left(x\right)$ .

Ta có  $g^{\text{'}}\left(x\right)=-\frac{f^{\text{'}}\left(x\right)}{\left[f\left(x\right)+m+2\right]\ln 5}-f^{\text{'}}\left(x\right)=-f^{\text{'}}\left(x\right)\left\{\frac{1}{\left[f\left(x\right)+m+2\right]\ln 5}+1\right\}=0\iff \left[\begin{array}{l}x=-1\\ x=1\\ x=4\end{array}\right.$

Bảng biến thiên hàm g(x) trên  $\left(0;3\right)$

 Trong đó:  $\left\{\begin{array}{l}g\left(-1\right)=4-{\log }_5\left[f\left(-1\right)+m+2\right]-f\left(-1\right)\\ g\left(4\right)=4-{\log }_5\left[f\left(4\right)+m+2\right]-f\left(4\right)\end{array}\right.$

Dựa vào đồ thị , ta có $\underset{-1}{\overset{1}{\int }}{f}^{\text{'}}\left(x\right)dx<\underset{4}{\overset{1}{\int }}{f}^{\text{'}}\left(x\right)dx\iff f\left(1\right)-f\left(-1\right)<f\left(1\right)-f\left(4\right)\iff f\left(-1\right)>f\left(4\right)$ .

Suy ra $g\left(-1\right)<g\left(4\right)$  .

Do đó ta có $m\ge \underset{\left[-1;4\right]}{\max }g\left(x\right)=g\left(4\right)=4-{\log }_5\left[f\left(4\right)+m+2\right]-f\left(4\right)$

Đặt $t=f\left(4\right)+m+2$   (với t>0).

Bất phương trình trở thành: $t+{\log }_{5}t\ge 6\iff t\ge 5$ .

Do đó: $f\left(4\right)+m+2\ge 5\iff m\ge 3-f\left(4\right)$ .

Vậy $m\ge 3-f\left(4\right)$ .