Cho hai số thực a, b thỏa mãn và . Giá trị lớn nhất của biểu thức P=2a+4b-3 là

Đáp án A

Do $a^2+b^2>1$  nên từ  ${\log }_{a^2+b^2}\left(a+b\right)\ge 1\iff {\log }_{a^2+b^2}\left(a+b\right)\ge {\log }_{a^2+b^2}\left(a^2+b^2\right)$

$\iff a+b\ge a^2+b^2>1$.

Suy ra:  $\left\{\begin{array}{l}{a}^2+b^2>1\\ {\left(a-\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(b-\frac{1}{2}\right)}^2\le \frac{1}{2}\end{array}\right.$

Khi đó: $P=2a+4b-3=2\left(a-\frac{1}{2}\right)+4\left(b-\frac{1}{2}\right)\le \sqrt{\left(2^2+4^2\right).\left[{\left(a-\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(b-\frac{1}{2}\right)}^2\right]}$

 $\le \sqrt{20.\left(\frac{1}{2}\right)}=\sqrt{10}$. (Áp dụng BĐT Bunhiacốpxki)

Dấu “=” xảy ra khi: $\left\{\begin{array}{l}{a}^2+b^2>1\\ \frac{a-\frac{1}{2}}{2}=\frac{b-\frac{1}{2}}{4}>0\\ {\left(a-\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(b-\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{2}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=\frac{1}{2}+\frac{1}{\sqrt{10}}\\ b=\frac{1}{2}+\frac{2}{\sqrt{10}}\end{array}\right.$ .

Vậy $P_{\max }=\sqrt{10}$  khi $\left\{\begin{array}{l}a=\frac{1}{2}+\frac{1}{\sqrt{10}}\\ b=\frac{1}{2}+\frac{2}{\sqrt{10}}\end{array}\right.$