Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : x+2y-2z+2018=0 và (Q) : x+my+(m-1)z+2017=0 . Khi hai mặt phẳng (P) và (Q) tạo với nhau một góc nhỏ nhất thì điểm H nào dưới...

Đáp án A

Ta có $\overrightarrow{n_{\left(P\right)}}=\left(1;2;-2\right)$ ; $\overrightarrow{n_{\left(Q\right)}}=\left(1;m;m-1\right)$ .

Gọi $\phi$  là góc tạo bởi hai mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q) $\left(0°\le \phi \le 90°\right)$  .

Ta có $\overrightarrow{n_{\left(P\right)}}.\overrightarrow{n_{\left(Q\right)}}=3$  ; $\left|\overrightarrow{n_{\left(P\right)}}\right|=3$ ;  $\left|\overrightarrow{n_{\left(Q\right)}}\right|=\sqrt{2m^2-2m+2}\Rightarrow \cos \phi =\frac{1}{\sqrt{2m^2-2m+2}}$

Để  (P) và (Q) tạo với nhau một góc nhỏ nhất thì $\cos \phi$  lớn nhất $\iff \sqrt{2m^2-2m+2}$  nhỏ nhất.

Mà $\sqrt{2m^2-2m+2}=\sqrt{2{\left(m-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{2}}\ge \sqrt{\frac{3}{2}}$  nên giá trị lớn nhất là $\cos \phi =\sqrt{\frac{2}{3}}$  khi $m=\frac{1}{2}$  .

Khi đó : $x+\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}z+2017=0$ .

Vậy $H\left(-2017;1;1\right)\in \left(Q\right)$ .