Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên: Có bao nhiêu giá trị nguyên

Phương pháp:

- Đặt $t=\sqrt{x-1}+2\left(t\ge 2\right).$

- Từ BBT suy ra f'(x) tính $f\left(x\right)=\int f\text{'}\left(x\right)dx,$ sử dụng $f\left(1\right)=4,f\left(3\right)=-2.$

- Tính f(2) với hàm f(x) vừa tìm được, sau đó tìm điều kiện của m để phương trình có 2 nghiệm.

Cách giải:

Đặt $t=\sqrt{x-1}+2\left(t\ge 2\right).$ Khi đó ta có f(t) = m có 2 nghiệm (ứng với mỗi nghiệm t cho ta một nghiệm x tương ứng).

Từ BBT ta thấy hàm số có 2 điểm cực trị x = 1, x = 3 nên $f\text{'}\left(x\right)=a\left(x-1\right)\left(x-3\right)=a\left(x^2-4x+3\right).$

$\Rightarrow f\left(x\right)=\int f\text{'}\left(x\right)dx=\int a\left(x^2-4x+3\right)dx=a\left(\frac{1}{3}{x}^3-2x^2+3x\right)+C.$

Có $\left\{\begin{array}{l}f\left(1\right)=4\\ f\left(3\right)=-2\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\frac{4}{3}a+C=4\\ C=-2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}C=-2\\ a=\frac{9}{2}\end{array}\right..$

$\Rightarrow f\left(x\right)=\frac{9}{2}\left(\frac{1}{3}{x}^3-2x^2+3x\right)-2=\frac{3}{2}{x}^3-9x^2+\frac{27}{2}x-2$

$\Rightarrow f\left(2\right)=1.$

Dựa vào BBT ta thấy phương trình f(x) = m có 2 nghiệm $\iff -2<m\le 1.$

Mà $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{-1;0;1\right\}.$

Vậy có 3 giá trị của m thỏa mãn.

Chọn A.