Cho F(x) = x^pi là một nguyên hàm của hàm số f(x).pi^x. Tìm họ nguyên hàm

Phương pháp:

Sử dụng phương pháp tích phân từng phần, đặt $\left\{\begin{array}{l}u={\pi }^x\\ dv=f\text{'}\left(x\right)dx\end{array}\right..$

Cách giải:

Đặt $I=\int f\text{'}\left(x\right){\pi }^{x}dx.$

Đặt $\left\{\begin{array}{l}u={\pi }^x\\ dv=f\text{'}\left(x\right)dx\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}du={\pi }^x\ln \pi \\ v=f\left(x\right)\end{array}\right.$

$\Rightarrow I={\pi }^{x}f\left(x\right)-\ln \pi \int {\pi }^{x}f\left(x\right)dx.$

Vì $F\left(x\right)={\pi }^x$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right){\pi }^x\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}F\text{'}\left(x\right)=f\left(x\right){\pi }^x\\ \int f\left(x\right){\pi }^{x}dx=F\left(x\right)+C=x^{\pi }+C.\end{array}\right.$

$\Rightarrow \pi .x^{\pi -1}=f\left(x\right).{\pi }^x\Rightarrow f\left(x\right)=\frac{\pi .x^{\pi -1}}{{\pi }^x}$

$\Rightarrow I={\pi }^x\frac{\pi x^{\pi -1}}{{\pi }^x}-x^{\pi }\ln \pi +C$

$\Rightarrow I=\pi .x^{\pi -1}-x^{\pi }\ln \pi +C$

Chọn B.