Xét các số thực không âm x và y thỏa mãn

Phương pháp:

Sử dụng phương pháp xét tính đơn điệu của hàm số.

Cách giải:

Ta có:

$2^{8x+2^{x+1}+1}-4^{3x-y+2^x+2}+2x+2y-3\ge 0$

$\iff 2^{8x+2^{x+1}+1}-2^{6x-2y+2^{x+1}+4}+2x+2y-3\ge 0$

$\iff 2^{8x+2^{x+1}+1}+8x+2^{x+1}+1\ge 2^{6x-2y+2^{x+1}+4}+6x-2y+2^{x+1}+4\left(*\right)$

Xét hàm số $f\left(t\right)=2^t+t$ ta có $f\text{'}\left(t\right)=2^t\ln 2+1>0\forall t\in ℝ,$ suy ra hàm số f(t) đồng biến trên $\mathrm{ℝ}$.

Do đó

$\left(*\right)\iff 8x+2^{x+1}+1\ge 6x-2y+2^{x+1}+4$

$\iff 2x+2y-3\ge 0\iff y\ge \frac{3-2x}{2}$

Khi đó ta có

$P=x^2+y^2+6x+4y$

$\iff P\ge x^2+{\left(\frac{3-2x}{2}\right)}^2+6x+4.\frac{3-2x}{2}$

$\iff P\ge x^2+\frac{4x^2-12x+9}{4}+6x+6-4x$

$\iff P\ge 2x^2-x+\frac{33}{4}$

$\iff P\ge 2\left(x^2-2x.\frac{1}{4}+\frac{1}{16}\right)+\frac{65}{8}$

$\iff P\ge 2{\left(x-\frac{1}{4}\right)}^2+\frac{65}{8}\ge \frac{65}{8}=8,125$

$P_{\min }=8,125\iff x=\frac{1}{4}.$

Chọn D.