Cho hàm số f(x) liên tục và có đạo hàm trên [-2; 2] thỏa mãn

* Hướng dẫn giải

Phương pháp:

- Nhận xét $\underset{-2}{\overset{2}{\int }}{\left(x+2\right)}^{2}dx=\frac{64}{3},$ áp dụng tính chất tích phân và đưa biểu thức dưới dấu tích phân về dạng bình

phương.

- Sử dụng $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx=0\iff f\left(x\right)=0.$

Cách giải:

Ta có $\underset{-2}{\overset{2}{\int }}{\left(x+2\right)}^{2}dx=\frac{64}{3}$ nên

$\underset{-2}{\overset{2}{\int }}\left[f^2\left(x\right)-2f\left(x\right)\left(x+2\right)\right]dx=-\underset{-2}{\overset{2}{\int }}{\left(x+2\right)}^{2}dx$

$\Rightarrow \underset{-2}{\overset{2}{\int }}\left[f^2\left(x\right)-2f\left(x\right)\left(x+2\right)+{\left(x+2\right)}^2\right]dx=0$

$\iff \underset{-2}{\overset{2}{\int }}{\left[f\left(x\right)-x-2\right]}^{2}dx=0\iff f\left(x\right)=x+2$

Vậy $I=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x+2}{x^2+1}dx=\frac{\pi +\ln 2}{2}.$

Chọn C.