Tìm tập hợp tất cả các giá trị của m để hàm số y=(tanx+m)/(mtanx+1) nghịch biến trên khoảng

Đáp án A

Đặt $t=\tan x$  (khi $\left(0;\frac{\pi }{4}\right)$  thì $t\in \left(0;1\right)$ ).

Khi đó bài toán trở thành tìm m để hàm số $y=\frac{t+m}{mt+1}$   nghịch biến trên (0;1).

TH1: m=0, hàm số trở thành y=t hàm số này đồng biến trên (0;1); nên m=0 không thỏa mãn.

TH2: $m\ne 0$ .

TXĐ: $D=ℝ/\left\{-\frac{1}{m}\right\}.$

Ta có $y^{\text{'}}=\frac{1-m^2}{{(mt+1)}^2}$ .

Để hàm số nghịch biến trên (0;1) thì

$\left\{\begin{array}{l}{y}^{\text{'}}<\mathrm{0,}\forall x\in (0;1)\\ -\frac{1}{m}\notin (0;1)\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}1-m^2<0\\ \left[\begin{array}{l}-\frac{1}{m}\le 0\\ -\frac{1}{m}\ge 1\end{array}\right.\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l}m<-1\\ m>1\end{array}\right.\\ \left[\begin{array}{l}m<0\\ 0<0\le 1\end{array}\right.\end{array}\iff m<-1.\right.\right.$