Cho hàm số . Tổng các giá trị nguyên của tham số thuộc đoạn để giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [0 ; 3] không bé hơn 5.

Đáp án D

Xét hàm số $f\left(x\right)=x^3-\frac{9}{2}{x}^2+6x-3+m$  liên tục trên đoạn [0 ; 3].

Ta có $f^{\text{'}}\left(x\right)=3x^2-9x+60\iff \left[\begin{array}{l}x=1\in [0;3]\\ x=2\in [0;3]\end{array}\right.$ .

Ta lại có: $f\left(0\right)=m-3;f\left(1\right)=m-\frac{1}{2};f\left(2\right)=m-1;f\left(3\right)=m+\frac{3}{2}$ .

Khi đó: $\left\{\begin{array}{l}\underset{\left[0;3\right]}{\min }f\left(x\right)=m-3\\ \underset{\left[0;3\right]}{\max }f\left(x\right)=m+\frac{3}{2}\end{array}\right.$  .

TH1: $\left(m+\frac{3}{2}\right).(m-3)\le 0$ .

Khi đó giá trị nhỏ nhất của hàm số y trên đoạn [0 ; 3] là 0 .

TH2: $\left(m+\frac{3}{2}\right).(m-3)>0$ .

Khi đó: $\frac{\left|\left(m+\frac{3}{2}\right)+(m-3)\right|-\left|\left(m+\frac{3}{2}\right)-(m-3)\right|}{2}\ge 5\iff \left[\begin{array}{l}m\ge 8\\ m\le -\frac{13}{2}\end{array}\right.$

Mà $\left\{\begin{array}{l}m\in \mathbb{Z}\\ m\in [-10;10]\end{array}\Rightarrow m=\{-10;-9;-8;-7;8;9;10\}\right.$ .

Vậy tổng các giá trị m cần tìm là -7 .