Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2;-2;4); B(-3;3;-1) và mặt phẳng Xét điểm là điểm thay đổi thuộc (P) , giá trị nhỏ nhất của 2MA^2+3MB^2 bằng

Đáp án A

Gọi I là điểm thỏa mãn $2\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{x}_I=\frac{2x_A+3x_B}{5}\\ y_I=\frac{2y_A+3y_B}{5}\Rightarrow I(-1;1;1)\\ z_I=\frac{2z_A+3z_B}{5}\end{array}\right.$

Khi đó ta có $2M{A}^2+3M{B}^2=2{(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA})}^2+3{(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB})}^2=5M{I}^2+2I{A}^2+3I{B}^2+2\overrightarrow{MI}(2\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IB})$

$=5M{I}^2+90\ge 5d{(I,(P\left)\right)}^2+90=135$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi M là hình chiếu của I(-1;1;1) lên (P) hay M(1;0;3).