Gọi M, N lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

Hàm số xác định trên [0;4]. Ta có: $f\left(x\right)=\left|x-3\right|\sqrt{x+1}=\sqrt{\left(x+1\right){\left(x-3\right)}^2}$ .

Xét hàm số $g\left(x\right)=\left(x+1\right){\left(x-3\right)}^2$  trên đoạn [0;4] ta có:$g^{\text{'}}\left(x\right)={\left(x-3\right)}^2+\left(x+1\right).2\left(x-3\right)=\left(x-3\right)\left(3\text{x}-1\right)$

$g^{\text{'}}\left(x\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}x=3\in \left[0;4\right]\\ x=\frac{1}{3}\in \left[0;4\right]\end{array}\right.$. Ta có:$g\left(0\right)=9,g\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{256}{27},g\left(3\right)=0,f\left(4\right)=5$ .

Vậy $\left\{\begin{array}{l}M=\underset{\left[0;4\right]}{\max }f\left(x\right)=\sqrt{g\left(\frac{1}{3}\right)}=\frac{16\sqrt{3}}{9}\\ N=\underset{\left[0;4\right]}{\min }f\left(x\right)=\sqrt{g\left(0\right)}=0\end{array}\right.\Rightarrow M+2N=\frac{16\sqrt{3}}{9}$ .