Trong Oxyz, cho mặt phẳng (P):x+2y+z-4=0 và đường thẳng

Mặt phẳng (P) có véctơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_P}=\left(1;2;1\right)$ . Đường thẳng d có véctơ chỉ phương$\overrightarrow{u_d}=\left(2;1;3\right)$ .

Vì $\overrightarrow{n}.\overrightarrow{u}=7\ne 0$nên đường thẳng d và mặt phẳng(P)   cắt nhau.

Tọa độ giao điểm H của đường và mặt là nghiệm của hệ phương trình

.$\left\{\begin{array}{l}x+2y+z-4=0\\ \frac{x+1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z+2}{3}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=1\\ z=1\end{array}\right.\Rightarrow H\left(1;1;1\right)$

Vì đường thẳng Δ nằm trong mặt phẳng  đồng thời cắt và vuông góc với đường thẳng d nên đường thẳng Δ đi qua điểm H và có véctơ chỉ phương$\overrightarrow{u_{\Delta }}=\left[\overrightarrow{n_P};\overrightarrow{u_d}\right]=\left(5;-1;-3\right)$ .

Vậy phương trình đường thẳng Δ là $\frac{x-1}{5}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z-1}{-3}$ .