Cho hàm số f(x) liên tục trên R có tích phân 0 đến 3 f(x)dx=8 và

Ta có: $I=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}f\left(\left|4\text{x}-1\right|\right)d\text{x}=\underset{-1}{\overset{\frac{1}{4}}{\int }}f\left(-4\text{x}+1\right)d\text{x}+\underset{\frac{1}{4}}{\overset{1}{\int }}f\left(4\text{x}-1\right)d\text{x}$ .

Xét $I_1=\underset{-1}{\overset{\frac{1}{4}}{\int }}f\left(-4\text{x}+1\right)d\text{x}$ . Đặt $-4\text{x}+1=t\Rightarrow dt=-4\text{dx}$ . Đổi cận: $\left\{\begin{array}{l}x=-1\Rightarrow t=5\\ x=\frac{1}{4}\Rightarrow t=0\end{array}\right.$

.$I_1=-\frac{1}{4}\underset{5}{\overset{0}{\int }}f\left(t\right)dt=\frac{1}{4}\underset{0}{\overset{5}{\int }}f\left(t\right)dt=\frac{1}{4}.4=1$

Xét .$I_2=\underset{\frac{1}{4}}{\overset{1}{\int }}f\left(4\text{x}-1\right)d\text{x}$ Đặt .$4\text{x}-1=t\Rightarrow dt=4\text{dx}$ Đổi cận:$\left\{\begin{array}{l}x=1\Rightarrow t=3\\ x=\frac{1}{4}\Rightarrow t=0\end{array}\right.$

.$I_2=\frac{1}{4}\underset{0}{\overset{3}{\int }}f\left(t\right)dt=\frac{1}{4}\underset{0}{\overset{3}{\int }}f\left(t\right)dt=\frac{1}{4}\underset{0}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)d\text{x}=\frac{1}{4}.8=2$

Vậy .$I=I_1+I_2=1+2=3$