Cho hai số thực dương thỏa mãn . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng

Đáp án B

Điều kiện: $\left\{\begin{array}{l}x>0\\ 0<y<6\end{array}\right.$ .

Bất phương trình tương đương với: ${\log }_2{x}^2+x^2\ge {\log }_2\left[x\right(6-y\left)\right]+x(6-y)(*)$ .

Xét hàm số $f\left(t\right)={\log }_{2}t+t$  (với t>0 ).

Ta có $f^{\text{'}}\left(t\right)=\frac{1}{t\ln 2}+1>\mathrm{0,}\forall t>0$  nên hàm số $f\left(t\right)={\log }_{2}t+t$  đồng biến trên khoảng $(0;+\infty )$  .

Do đó $(*)\iff f\left(x^2\right)\ge f\left(x\right(6-y\left)\right)\iff x^2\ge x(6-y)\iff x\ge 6-y\iff x+y\ge 6($  **) (do x>0).

Áp dụng BĐT Côsi cho các cặp số dương và bất đẳng thức $P=3x+2y+\frac{6}{x}+\frac{8}{y}=\frac{3}{2}(x+y)+\left(\frac{3x}{2}+\frac{6}{x}\right)+\left(\frac{y}{2}+\frac{8}{y}\right)\ge \frac{3}{2}\cdot 6+2\sqrt{\frac{3x}{2}\cdot \frac{6}{x}}+2\sqrt{\frac{y}{2}\cdot \frac{8}{y}}=19$  ta có:

Đằng thức xảy ra khi và chỉ khi $\left\{\begin{array}{l}x+y=6\\ \frac{3x}{2}=\frac{6}{x}\\ \frac{y}{2}=\frac{8}{y}\end{array}\right.$  .$\iff \left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=4\end{array}\right.$

Vậy $P_{\min }=19$ .