Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho 3 điểm và mặt phẳng (P): x-y+z+2=0. Tìm điểm sao cho S=2NA^2+NB^2+NC^2 đạt giá trị nhỏ nhất.

Đáp án D

Với mọi điểm I ta có: $S=2{(\overrightarrow{NI}+\overrightarrow{IA})}^2+{(\overrightarrow{NI}+\overrightarrow{IB})}^2+{(\overrightarrow{NI}+\overrightarrow{IC})}^2$

$=4N{I}^2+2\overrightarrow{NI}(2\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC})+2I{A}^2+I{B}^2+I{C}^2$

Chọn điểm I sao cho: $2\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$

$2\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}\iff 4\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{0}$.

Suy ra tọa độ điểm I là I(0;1;2).

Khi đó $S=4N{I}^2+2I{A}^2+I{B}^2+I{C}^2,$  do đó S nhỏ nhất khi N là hình chiếu của I lên mặt phẳng (P).

Phương trình đường thẳng đi qua I và vuông góc với mặt phẳng (P) là:  $\left\{\begin{array}{l}x=0+t\\ y=1-t\\ z=2+t\end{array}\right.$ .

Tọa độ điểm $N(t;1-t;2+t)\in \left(P\right)\Rightarrow t-1+t+2+t+2=0\iff t=-1\Rightarrow N(-1;2;1)$.