Cho hàm số y=f(x)= x^3+3x^2+2 và phương trình có 8 nghiệm phân biệt với . Khẳng định nào sau đây đúng?

Đáp án D

Ta có bảng biến thiên của $y=\left|f\left(x\right)+m\right|$

Bảng biến thiên của $y=\left|f\left(x\right)+m\right|+m$

TH1: $2m+6>0\Rightarrow m>-3$

Ta có: $\left|\left|f\left(x\right)+m\right|+m\right|=n\iff \left\{\begin{array}{l}n\ge 0\\ \left[\begin{array}{l}\left|f\left(x\right)+m\right|+m=n\\ \left|f\left(x\right)+m\right|+m=-n\end{array}\right.\end{array}\right.$ .

Suy ra phương trình $\left|\left|f\left(x\right)+m\right|+m\right|=n$  có 8 nghiệm phân biệt khi:

$\iff \left\{\begin{array}{l}-3<m<-2\\ \left[\begin{array}{l}0<n<2m+6\\ \left\{\begin{array}{l}n>2m+6\\ m<-n<-2\end{array}\right.\end{array}\right.\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}-3<m<-2\\ \left[\begin{array}{l}0<n<2m+6\\ \left\{\begin{array}{l}n>2m+6\\ 2<n<-m\end{array}\right.\end{array}\right.\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}-3<m<-2\\ \left[\begin{array}{l}0<n<2m+6\\ 2<n<-m\end{array}\right.\end{array}\right.\right.$

TH2: $2m+6\le 0\Rightarrow m\le -3$

Ta có bảng biến thiên của $y=\left|\left|f\left(x\right)+m\right|+m\right|$  như sau:

+ Nếu -2m-6<2 thì $\left|\left|f\left(x\right)+m\right|+m\right|=n$  có 8 nghiệm phân biệt khi $2<n<-m$  hay $\left\{\begin{array}{l}-4<m\le -3\\ 2<n<-m\end{array}\right.$ .

+ Nếu $-2m-6>2\iff -6<m<-4$  thì $\left|\left|f\left(x\right)+m\right|+m\right|=n$  có 8 nghiệm phân biệt khi $-2m-6<n<-m\iff 0<n<-m$   hay $\left\{\begin{array}{l}-6<m<-4\\ 0<n<-m\end{array}\right.$ .