Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm f'(x)=(x-1)^2(x^2-2x) với . Có bao nhiêu

Đáp án A

Đặt $g\left(x\right)=f\left(x^2-8x+m\right)$

$f^{\text{'}}\left(x\right)={\left(x-1\right)}^2\left(x^2-2x\right)\Rightarrow g^{\text{'}}\left(x\right)=\left(2x-8\right){\left(x^2-8x+m-1\right)}^2\left(x^2-8x+m\right)\left(x^2-8x+m-2\right)$

$g^{\text{'}}\left(x\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}x=4\\ x^2-8x+m-1=0\left(1\right)\\ x^2-8x+m=0\left(2\right)\\ x^2-8x+m-2=0\left(3\right)\end{array}\right.$

Các phương trình (1),(2)  ,(3)   không có nghiệm chung từng đôi một và ${\left(x^2-8x+m-1\right)}^2\ge 0\forall x\in ℝ$ .Suy ra g(x) có 5 điểm cực trị khi và chỉ khi (2) và (3) có hai nghiệm phân biệt khác 4.$\iff \left\{\begin{array}{l}{\Delta }_2=16-m>0\\ {\Delta }_3=16-m+2>0\\ 16-32+m\ne 0\\ 16-32+m-2\ne 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m<16\\ m<18\\ m\ne 16\\ m\ne 18\end{array}\right.\iff m<16$

Vì m nguyên dương và m>16 nên có 15 giá trị m cần tìm.