Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình

* Hướng dẫn giải

Phương pháp:

- Đặt $t=2^x>0.$ Đưa về phương trình bậc hai ẩn t

- Để phương trình ban đầu có 2 nghiệm trái dấu thì phương trình bậc hai ẩn t có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn $t_1<1<t_2.$

- Áp dụng định lí Vi-ét.

Cách giải:

Đặt $t=2^x>0.$ phương trình trở thành $t^2-2\left(m+2\right)t+3m-5=0\left(*\right).$

Giả sử phương trình ban đầu có 2 nghiệm phân biệt trái dấu $x_1<0<x_2\Rightarrow {\log }_2{t}_1<0<{\log }_2{t}_2\iff t_1<1<t_2.$

$\Rightarrow$ Phương trình (*) có 2 nghiệm phân phân biệt thỏa mãn $t_1<1<t_2.$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\Delta \text{'}>0\\ t_1+t_2>0\\ t_1{t}_2>0\\ \left(t_1-1\right)\left(t_2-1\right)<0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{\left(m+2\right)}^2-3m+5>0\\ 2\left(m+2\right)>0\\ 3m-5>0\\ 3m-5-2\left(m+2\right)+1<0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}{m}^2+m+9>0\left(luôn\text{ dươ}ng\right)\\ m>-2\\ m>\frac{5}{3}\\ m-8<0\end{array}\right.\iff \frac{5}{3}<m<8$

Chọn A.