Cho hàm số f(x) liên tục trên R thỏa mãn f(x) - f(1 - x) = x^2(1 - x)^2

* Hướng dẫn giải

Phương pháp:

- Lấy tích phân hai vế.

- Sử dụng phương pháp tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số.

Cách giải:

Lấy tích phân từ 0 đến 1 hai vế của phương trình $f\left(x\right)+f\left(1-x\right)=x^2{\left(1-x\right)}^2\forall x\in ℝ$ ta có:

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx+\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(1-x\right)dx=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^2{\left(1-x\right)}^{2}dx=\frac{1}{30}\left(*\right).$

Xét $\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(1-x\right)dx.$

Đặt $t=1-x\Rightarrow dt=-dx\Rightarrow dx=-dt$

Đổi cận $\left\{\begin{array}{l}x=0\Rightarrow t=1\\ x=1\Rightarrow t=0\end{array}\right..$

$\Rightarrow \underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(1-x\right)dx=-\underset{1}{\overset{0}{\int }}f\left(t\right)dt=\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx.$

Thay vào (*) ta có $2\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx=\frac{1}{30}\iff \underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx=\frac{1}{60}.$

Chọn B.