Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y=x^3-3mx^2+3(2m-1)x+1 nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 2?

Đáp án A

Ta có: $y\text{'}=3x^2-6mx+3\left(2m-1\right)$

Để hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 2 thì $y\text{'}=0$  có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$  thỏa mãn: $\left|x_1-x_2\right|=2$  .

Ta có:$\Delta \text{'}=9m^2-9\left(2m-1\right)=9{\left(m-1\right)}^2$ .

Để $y\text{'}=0$  có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$  thì $\Delta \text{'}>0\iff 9{\left(m-1\right)}^2>0\iff m\ne 1$ .

Theo định lý Vi-ét, ta có: $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=2m\\ x_1{x}_2=2m-1\end{array}\right..$