Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số y=|1/4x^4-19/2x^2+30x+m trên đoạn [0;2] đạt giá trị nhỏ nhất?

Đáp án D

Xét hàm số $f\left(x\right)=\frac{1}{4}{x}^4-\frac{19}{2}{x}^2+30x+m$  liên tục trên đoạn $\left[0;2\right]$ .

Ta có: $f\left(0\right)=m;f\left(2\right)=m+26$ $f\text{'}\left(x\right)=x^3-19x+30=0\iff \left[\begin{array}{l}x=-5\notin \left[0;2\right]\\ x=3\notin \left[0;2\right]\\ x=2\in \left[0;2\right]\end{array}\right..$

Ta lại có: $f\left(0\right)=m;f\left(2\right)=m+26$ .

Suy ra $\underset{\left[0;2\right]}{\max }\left|f\left(x\right)\right|=\max \left\{\left|m\right|;\left|m+26\right|\right\}=M$ .

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}M\ge \left|m\right|=\left|-m\right|\\ M\ge \left|m+26\right|\end{array}\right.\Rightarrow 2M>\left|-m\right|+\left|m+26\right|\iff M\ge \frac{\left|-m\right|+\left|m+26\right|}{2}\ge \frac{\left|-m+m+26\right|}{2}=13.$

Dấu “=” xảy ra khi $\left\{\begin{array}{l}\left|m\right|=\left|m+26\right|=13\\ -m\left(m+26\right)>0\end{array}\right.\iff m=-13.$

Do đó giá trị lớn nhất của hàm số $y=\left|\frac{1}{4}{x}^4-\frac{19}{2}{x}^2+30x+m\right|$  trên đoạn $\left[0;2\right]$  đạt giá trị nhỏ nhất bằng 13 khi M=-13.

Vậy có 1 giá trị nguyên m thỏa mãn yêu cầu đề bài.