Cho x,y thuộc (0;2) thỏa mãn (x-3)(x+8)=ey(ey-11) . Giá trị lớn nhất của P=(căn lnx+ căn (1+lny) bằng:

* Hướng dẫn giải

Đáp án B

Điều kiện: $x\ge \mathrm{1,}y\ge \frac{1}{e}$ .

Phương trình tương đương với: $x^2+5x-24=e^2{y}^2-11ey\iff e^2{y}^2-11ey-\left(x^2+5x-24\right)=0\left(*\right)$

Ta có: $\Delta ={\left(2x+5\right)}^2>\mathrm{0,}\forall x\ge 1$ .

Do đó: $\left(*\right)\iff \left[\begin{array}{l}ey=\frac{11+\left(2x+5\right)}{2}\\ ey=\frac{11-\left(2x+5\right)}{2}\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}ey=x+8\\ ey=3-x\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}y=\frac{x+8}{e}\\ y=\frac{3-x}{e}\end{array}\right..$

+ Với $y=\frac{x+8}{e}\notin \left(0;2\right)$  (vì $\frac{x+8}{e}>\frac{9}{e}>2$ ).

+ Với $y=\frac{3-x}{e}\in \left(0;2\right)$  (vì $1\le x<2$ ).

Khi đó, ta được: $P=\sqrt{\ln x}+\sqrt{\ln \left(3-x\right)}$  trên $\left[1;2\right)\left[1;2\right)$ .

Ta có: $P\text{'}=\frac{1}{2x\sqrt{\ln x}}-\frac{1}{2\left(3-x\right)\sqrt{\ln \left(3-x\right)}}=0\iff \left(3-x\right)\sqrt{\ln \left(3-x\right)}=x\sqrt{\ln x}\left(**\right)$ .

Xét hàm $f\left(t\right)=t\sqrt{\ln t}$  trên $\left[1;+\infty \right)$  , có $f\text{'}\left(t\right)=\sqrt{\ln t}+\frac{1}{2\sqrt{\ln t}}>\mathrm{0,}\forall t\in \left(1;+\infty \right)$  .

Khi đó $\left(**\right)\iff f\left(3-x\right)=f\left(x\right)\iff 3-x=x\iff x=\frac{3}{2}$ .

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra $P_{\max }=2\sqrt{\ln 3-\ln 2}$  khi $x=\frac{3}{2};y=\frac{3}{2e}$ .