Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] và thỏa mãn f(0)=0 . Biết tích phân từ 0 đén 1 của f^2(x)dx=9/2 và tích phân từ 0 đến 1 của f'(x)cos(pi.x/2)dx=3pi/4 . Tích ph...

Đáp án A

Đặt $\left\{\begin{array}{l}u=\cos \frac{\pi x}{2}\\ dv=f\text{'}\left(x\right)dx\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}du=-\frac{\pi }{2}\sin \frac{\pi x}{2}dx\\ v=f\left(x\right)\end{array}\right..$

Suy ra $\begin{array}{l}\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\text{'}\left(x\right)\cos \frac{\pi x}{2}dx=\cos \frac{\pi x}{2}f\left(x\right)\left|\begin{array}{l}{}^1\\ {}_0\end{array}\right.+\frac{\pi }{2}\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)\sin \frac{\pi x}{2}dx\\ =f\left(1\right).\cos \frac{\pi }{2}-f\left(0\right).\cos 0+\frac{\pi }{2}\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)\sin \frac{\pi x}{2}dx\\ =\frac{\pi }{2}\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)\sin \frac{\pi x}{2}dx=\frac{3\pi }{4}\Rightarrow \underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)\sin \frac{\pi x}{2}dx=\frac{3}{2}.\end{array}$

Xét tích phân $\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left[f\left(x\right)+k\sin \frac{\pi x}{2}\right]}^{2}dx=0$

$\begin{array}{l}\iff \underset{0}{\overset{1}{\int }}\left[f^2\left(x\right)+2kf\left(x\right)\sin \frac{\pi x}{2}+k^2{\sin }^2\frac{\pi x}{2}\right]dx=0\\ \iff \underset{0}{\overset{1}{\int }}{f}^2\left(x\right)dx+2k\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)\sin \frac{\pi x}{2}+k^2\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\sin }^2\frac{\pi x}{2}dx=0\iff \frac{9}{2}+2k\frac{3}{2}+\frac{1}{2}{k}^2=0\iff k=-3.\end{array}$

Khi đó ta có: $\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left[f\left(x\right)-3\sin \frac{\pi x}{2}\right]}^{2}dx=0\iff f\left(x\right)-3\sin \frac{\pi x}{2}=0\iff f\left(x\right)=3\sin \frac{\pi x}{2}$ .