Có bao nhiêu số nguyên m thỏa mãn

* Hướng dẫn giải

Phương pháp:

Cô lập m đưa bất phương trình về dạng $m\le g\left(x\right)\forall x>0\iff m\le \underset{\left(0;+\infty \right)}{\max }g\left(x\right).$

Cách giải:

Ta có:

     $\frac{\ln x}{x+1}+\frac{1}{x}\ge \frac{\ln x}{x-1}+\frac{m}{x}\forall x>0,x\ne 1$

$\iff \frac{\ln x}{x+1}+\frac{1}{x}-\frac{\ln x}{x-1}\ge \frac{m}{x}\forall x>0,x\ne 1$

$\iff \ln x\left(\frac{x}{x+1}-\frac{x}{x-1}\right)+1\ge m\forall x>0,x\ne 1$

$\iff \ln x.\frac{x^2-x-x^2-x}{x^2-1}+1\ge m\forall x>0,x\ne 1$

$\iff \frac{-2x}{x^2-1}.\ln x+1\ge m\forall x>0,x\ne 1\left(*\right)$

Đặt $g\left(x\right)=\frac{-2x}{x^2-1}.\ln x+1$ ta có $m\le g\left(x\right)\forall x>0,x\ne 1.$

Sử dụng MTCT ta vẽ được BBT hàm số g(x) như sau:

$\Rightarrow \left(*\right)$ có nghiệm khi và chỉ khi $m\le 1.$

Vậy có vô số giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn C.